Dạng đại số của số phức

Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo ı {\displaystyle \imath } đặc trưng bởi biểu thức

i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

z = a + i b {\displaystyle z=a+ib}

trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng i2 = –1. Như vậy, ta có:

( a + i b ) + ( c + i d ) = ( a + c ) + i ( b + d ) {\displaystyle (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)} ( a + i b ) − ( c + i d ) = ( a − c ) + i ( b − d ) {\displaystyle (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)} ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + i ( a d + b c ) {\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)} a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}

Mặt phẳng phức

Trong hệ toạ độ Descartes, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức

z = x + i y . {\displaystyle z=x+iy.}

Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức.

Số thực và số thuần ảo

Mỗi số thực a {\displaystyle a} được xem là một số phức có b = 0 {\displaystyle b=0} .

Ta có: R {\displaystyle \mathbb {R} } ⊂ {\displaystyle \subset } C {\displaystyle \mathbb {C} }

Nếu a = 0 {\displaystyle a=0} , số phức b i {\displaystyle bi} được gọi là thuần ảo.

Số phức liên hợp

Cho số phức dưới dạng đại số Z = a + b i {\displaystyle Z=a+bi\,} , số phức Z ¯ = a − b i {\displaystyle {\overline {Z}}=a-bi} được gọi là số phức liên hợp của z.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

1. Z × Z ¯ = a 2 + b 2 {\displaystyle Z\times {\overline {Z}}=a^{2}+b^{2}} là một số thực.
2. Z + Z ¯ = 2 a {\displaystyle Z+{\overline {Z}}=2a} là một số thực
3. Z + Z ′ ¯ {\displaystyle {\overline {Z+Z'}}} = Z ¯ + Z ′ ¯ {\displaystyle {\overline {Z}}+{\overline {Z'}}}
4. Z × Z ′ ¯ {\displaystyle {\overline {Z\times Z'}}} = Z ¯ × Z ′ ¯ {\displaystyle {\overline {Z}}\times {\overline {Z'}}}

Module và Argument

• Cho z = a + b i {\displaystyle z=a+bi\,} . Khi đó z × z ¯ = a 2 + b 2 {\displaystyle z\times {\overline {z}}=a^{2}+b^{2}\,} . Căn bậc hai của z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}\,} được gọi là module của z, ký hiệu là | z | {\displaystyle |z|} . Như vậy | z | = a 2 + b 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} .

Xem thêm: giá trị tuyệt đối

• Có thể biểu diễn số phức z = a + b ∗ i {\displaystyle z=a+b*i} trên mặt phẳng tọa độ bằng điểm M ( a , b ) {\displaystyle M(a,b)} , góc φ {\displaystyle \varphi } giữa chiều dương của trục Ox và vec tơ O M → {\displaystyle {\overrightarrow {OM}}} được gọi là a r g u m e n {\displaystyle argumen} của số phức z {\displaystyle z} , ký hiệu là a r g ( z ) {\displaystyle arg(z)} .
• Một vài tính chất của module và argument

| z ¯ | = | z | , | z 1 ∗ z 2 | = | z 1 | ∗ | z 2 | , | z n | = | z | n , {\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|,|z_{1}*z_{2}|=|z_{1}|*|z_{2}|,|z^{n}|=|z|^{n},}

a r g ( z 1 ∗ z 2 ) = a r g ( z 1 ) + a r g ( z 2 ) , {\displaystyle arg(z_{1}*z_{2})=arg(z_{1})+arg(z_{2}),}

a r g ( z 1 z 2 ) = a r g ( z 1 ) − a r g ( z 2 ) , a r g ( z n ) = n a r g ( z ) {\displaystyle arg\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)=arg(z_{1})-arg(z_{2}),arg(z^{n})=n\,arg(z)\,}

Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa

Số phức z = a + b ∗ i {\displaystyle z=a+b*i} có thể viết dưới dạng

z = a + b ∗ i = a 2 + b 2 ( a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 ∗ i ) {\displaystyle z=a+b*i={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}*i\right)}

Khi đặt

r = | z | , φ = a r g ( z ) {\displaystyle r=|z|,\varphi =arg(z)} ,

ta có

z = r ( c o s φ + i s i n φ ) {\displaystyle z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )}

Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z {\displaystyle z} .

Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác

• Phép nhân và phép chia các số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

z = r ( c o s φ + i s i n φ ) {\displaystyle z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )} z ′ = r ′ ( c o s φ ′ + i s i n φ ′ ) {\displaystyle z'=r'(cos{\varphi }'+i\,sin{\varphi ')}}

Khi đó

z ∗ z ′ = r r ′ ( c o s ( φ + φ ′ ) + i s i n ( φ + φ ′ ) {\displaystyle z*z'=rr'(cos(\varphi +{\varphi }')+i\,sin(\varphi +{\varphi }')} z z ′ = r r ′ ( c o s ( φ − φ ′ ) + i s i n ( φ − φ ′ ) {\displaystyle {\frac {z}{z'}}={\frac {r}{r'}}(cos(\varphi -{\varphi }')+i\,sin(\varphi -{\varphi }')}

• Lũy thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).

z n = r n ( c o s ( n φ ) + i s i n ( n φ ) ) {\displaystyle z^{n}=r^{n}(cos(n\,\varphi )+i\,sin(n\,\varphi ))}

• Khai căn số phức dưới dạng lượng giác.

Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng

ω k = r n ( c o s ψ k + i s i n ψ k ) {\displaystyle {\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\psi }_{k}+i\,sin{\psi }_{k})}

trong đó ψ k = φ + k 2 π n {\displaystyle {\psi }_{k}={\frac {\varphi +k\,2\,\pi }{n}}} , k = 0 , 1 , . . . n − 1 {\displaystyle k=0,1,...n-1}